《有限单元法教程》- PDF文档

Hailey

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有限单元法(或称有限元法)是在当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。伴随着计算机科学和技术的快速发展，现已成为计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助制造(CAM)的重要组成部分。在工程和科技领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本方程(常微分方程或偏微分方程)和相应的定解条件。但能用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单.且几何形状相当规则的情况。对于大多数问题，由于方程的作线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，则只能采用数值方法求解。20世纪60年代以来，随着电了计算机的出现，特别是近20年来软、硬件技术的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题功能强大的有力工具。已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。一个问题的有限差分法的求解步骤归纳为:首先将求解域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程。当采用较密的网格，即较多的结点时，近似解的精度可以得到改进。借助于有限差分法，能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系(欧拉(Euler)坐标系>的流体力学问题，有限差分法有自身的优势。因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结在物体上的坐标系(拉格朗日(Lagrange)坐标系)和形状复杂，则采用另一类数值分析方法—有限元法则更为适合。

有限元法从方法的建立途径方面考虑，它区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从与其等效的积分形式出发。等效积分的一般形式是加权余量法，它适用于普遍的方程形式。利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，例如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值分析方法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。相应的近似解法实际上是求解泛函的驻值问题。里兹法就是属于这一类近似解法。有限元法区别于传统的加权余量法和求解泛函驻值的变分法，该法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。这样就克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难，是近代工程数值分析方法领域的重大突破。

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貌似很强大的样子啊